चाप

स्पन्ज वा फोमको टुक्रामाथि इँटा राख्दा इँटा फोममा भासिन्छ। यहाँ इँटाको तौलले फोमलाई थिचेको हुन्छ। पानीको पाइप फुट्नुको कारण पनि भित्रको पानीको धक्का नै हो। चित्र 8.1 को खेलमा एउटा कार्डले पानी भरिएको उल्टो गिलासलाई थामिराख्छ। यहाँ हावाले कार्डलाई माथितिर धकेलेको हुन्छ। यसरी ठोस, तरल र ग्यास सबैले आफूले छोएका सतहलाई धकेल्छन्।

सतहमा लम्ब रूपले (90° को कोण बनाएर) लाग्ने बललाई थ्रस्ट भनिन्छ। थ्रस्ट एक किसिमको बल भएकाले यसको SI एकाइ न्युटन (N) हो। वस्तुको प्रतिएकाइ क्षेत्रफलमा लाग्ने थ्रस्टलाई चाप भनिन्छ:

$$\text{चाप } (P) = \frac{\text{थ्रस्ट } (F)}{\text{क्षेत्रफल } (A)}$$

चापको SI एकाइ न्युटन प्रतिवर्गमिटर (N/m²) हो। यसलाई पास्कल (Pa) भनिन्छ। एक पास्कल निकै सानो चाप हो। टेबुलमा राखिएको एउटा कागजले करिब 1 Pa मात्र चाप दिन्छ।

उही बल सानो क्षेत्रफलमा लाग्दा चाप धेरै ठुलो हुन्छ। धारिलो चक्कुको धार निकै पातलो हुने भएकाले यसले सजिलै काट्छ। ड्रइङ पिन पनि यही कारणले बोर्डमा सजिलै गाडिन्छ। भरियाको टाउकोमा कम चाप परोस् भनेर नाम्लो चाहिँ पातलो नबनाई चौडा बनाइन्छ।

तरल तथा ग्यास सजिलै बग्न सक्ने भएकाले दुवैलाई फ्लुड भनिन्छ। ठोसले आफू राखिएको ठाउँलाई तलतिर मात्र थिच्छ। फ्लुडले भने आफू राखिएको भाँडाको पिँध र सबै भित्तामा चाप दिन्छ। फ्लुडभित्र राखिएको वस्तुको हरेक सतहमा पनि यसले चाप दिन्छ।

बेलुनलाई पानीभित्र धकेल्दा पानीले त्यसलाई फेरि माथितिर धकेलेको महसुस हुन्छ। हाइड्रोजन वा हिलियम भरेर छोडिएको बेलुनलाई हावाले माथितिर धकेल्छ र बेलुन माथि उड्छ। माथि जाँदै गर्दा हावा पातलो हुँदै जाने भएकाले हावाको धक्का पनि कमजोर हुँदै जान्छ। हावाको माथितिरको धक्का बेलुनको तौल बराबर हुने उचाइमा पुगेपछि बेलुन माथि जान छोड्छ। यस्तो किन हुन्छ भन्ने कुरा यसै एकाइमा पछि पढिन्छ।

यो विषय कक्षा 8 मा पढिसकिएको छ। यस एकाइका धेरै कुरा यसैबाट बुझिने भएकाले यहाँ फेरि दोहोर्‍याइएको छ।

ट्याङ्कीको पिँधमा रहेको पानीले आफूमाथिको सबै पानीको तौल बोकेको हुन्छ। तसर्थ जति गहिरो गयो, चाप उति बढी हुन्छ। $\rho$ (रो) घनत्व भएको तरलको $h$ गहिराइमा चाप:

$$P = h\rho g$$

यहाँ $g$ = 9.8 m/s² हो। तरलको चाप गहिराइ र तरलको घनत्वमा मात्र भर पर्छ, भाँडाको आकारमा भर पर्दैन। तरलको कुनै पनि बिन्दुमा चाप सबै दिशामा बराबर लाग्छ: माथितिर, तलतिर तथा छेउतिर।

हाम्रो वरिपरिको हावा पनि फ्लुड नै हो। वायुमण्डल करिब सय किलोमिटर गहिरो हावाको सागर हो र हामी यसको पिँधमा बस्छौँ। समुद्री सतहमा वायुमण्डलको चाप करिब 101,325 Pa हुन्छ। यो हरेक वर्गमिटरमा करिब 10 टन तौल बराबर हो। हाम्रो शरीरभित्रका फ्लुडहरूले पनि उत्तिकै बलले बाहिरतिर धकेल्ने भएकाले हामी थिचिँदैनौँ। माथि चढ्दै जाँदा माथिको हावा कम हुँदै जान्छ र चाप घट्छ। काठमाडौँमा वायुमण्डलको चाप करिब 85,000 Pa हुन्छ भने सगरमाथाको टुप्पोमा समुद्री सतहको चापको करिब एक तिहाइ मात्र हुन्छ।

तरलले धक्कालाई अर्को ठाउँसम्म पुर्‍याउन सक्छ तर ठोसले किन सक्दैन? यो कुरा तिनका अणुको बनोटबाट बुझ्न सकिन्छ (चित्र 8.4)। ठोसमा अणु एकअर्काको नजिक खाँदिएर आआफ्नै ठाउँमा रहन्छन्। यी अणु कम्पन मात्र गर्न सक्छन्। काठको टुक्राको एउटा छेउमा धकेल्दा पूरै टुक्रा सर्छ वा धकेलेको ठाउँमा मात्र गडिन्छ। चाप त्यस ठोसभित्र फैलिएर सबै सतहसम्म पुग्दैन। तरल तथा ग्यासमा भने अणु यताउता चल्न सक्छन्। तसर्थ बन्द भाँडामा राखिएको फ्लुडमा लगाइएको धक्का पूरै फ्लुडमा फैलिन्छ।

तरलका अणुबिचको खाली ठाउँ एकदमै कम हुन्छ। तसर्थ थिच्दा पनि तिनलाई अझ नजिक सार्न सकिँदैन र तरलको आयतन घट्दैन। बन्द भाँडामा राखिएको तरल खाँद्न नसकिने हुन्छ। यस्तो तरलको कुनै एक बिन्दुमा उत्पन्न गरिएको चाप तरलको हरेक भागमा सबै दिशातिर पुग्छ। यसलाई चापको प्रसारण भनिन्छ। टुथपेस्टको ट्युबलाई पिँधतिर थिच्दा माथिको मुखबाट पेस्ट निस्कनुको कारण यही हो।

ग्यासको कुरा भने फरक हुन्छ। ग्यासका अणु एकअर्काबाट टाढा हुने भएकाले धक्का लगाउँदा सुरुमा ग्यास खाँदिएर सानो आयतनमा आउँछ। ग्यासमा पनि चाप प्रसारण हुन्छ तर तरलमा जत्तिको प्रभावकारी रूपमा हुँदैन। बेलुनलाई एक ठाउँमा थिच्दा अरू सबैतिर फुल्छ तर भित्रको हावा कसिलो गरी खाँदिएपछि मात्र यस्तो हुन्छ। यही कारणले कार र मोटरसाइकलको हाइड्रोलिक ब्रेकका पाइपमा हावा नभई तरल राखिन्छ। (ठुला बस र ट्रकमा प्रायः एयर ब्रेक हुन्छ। यो भने फरक तरिकाले काम गर्छ। कम्प्रेसरले हावालाई उच्च चापमा सञ्चित गर्छ। चालकले पेडल थिचेर त्यो हावा छोड्ने मात्र हो।)

फ्रान्सेली गणितज्ञ तथा वैज्ञानिक ब्लेज पास्कल (Blaise Pascal) ले सन् 1653 मा यससम्बन्धी नियम प्रतिपादन गरेका थिए। यसलाई पास्कलको नियम भनिन्छ:

बन्द भाँडामा राखिएको तरलको कुनै पनि बिन्दुमा चाप लगाउँदा उक्त चाप तरलभरि सबै दिशामा बराबर प्रसारण हुन्छ र भाँडाका भित्तामा लम्ब रूपले लाग्छ।

पास्कलको नियमको प्रमाणीकरण

पास्कलको नियमको प्रमाणीकरणका लागि A, B, C र D चारओटा पिस्टन जोडिएको, तरलले भरिएको एउटा गोलाकार भाँडो लिन सकिन्छ (चित्र 8.6)। मानौँ, ती पिस्टनको क्रससेक्सनल क्षेत्रफल क्रमशः $a_1$, $a_2$, $a_3$ र $a_4$ छ। पिस्टन A लाई $F_1$ बलले भित्रतिर धकेल्दा बाँकी तीनओटा पिस्टन बाहिरतिर सर्छन्। तिनलाई सर्नबाट रोक्न हरेकमा भित्रतिर क्रमशः $F_2$, $F_3$ र $F_4$ बल लगाउनुपर्छ। ती बल नाप्दा तलको नतिजा प्राप्त हुन्छ:

$$\frac{F_1}{a_1} = \frac{F_2}{a_2} = \frac{F_3}{a_3} = \frac{F_4}{a_4}$$

यी हरेक अनुपातमा बललाई क्षेत्रफलले भाग गरिएको हुनाले हरेक अनुपात चाप हो। अर्थात् हरेक पिस्टनमा चाप उही हुन्छ। तसर्थ बन्द भाँडामा राखिएको तरलको एक ठाउँमा उत्पन्न चाप सबैतिर समान रूपले प्रसारण हुन्छ। दोब्बर क्षेत्रफल भएको पिस्टनलाई रोक्न दोब्बर बल चाहिन्छ।

पास्कलको नियमका उपयोगिता

पास्कलको नियममा आधारित भएर विभिन्न किसिमका हाइड्रोलिक मेसिन निर्माण गरिन्छन्। हाइड्रोलिक शब्द ग्रिक शब्द hydor (पानी) बाट आएको हो। हाइड्रोलिक ब्रेक, हाइड्रोलिक लिफ्ट, हाइड्रोलिक ज्याक, हाइड्रोलिक प्रेस तथा खन्ने मेसिन र क्रेनका पाखुरा यसका उदाहरण हुन्।

हाइड्रोलिक मेसिन पास्कलको नियममा आधारित बल वृद्धि गर्ने उपकरण हो। यसको सानो पिस्टनमा लगाइएको सानो बल ठुलो पिस्टनमा पुग्दा ठुलो बल बन्छ।

हाइड्रोलिक मेसिनको निर्माण र कार्यविधि

हाइड्रोलिक मेसिनमा फरक फरक क्रससेक्सनल क्षेत्रफल भएका कम्तीमा दुईओटा सिलिन्डरलाई पाइपले जोडेर तरल भरिएको हुन्छ (चित्र 8.8)। यस्तो तरल प्रायः तेल हुन्छ। सिलिन्डरभित्रको तरल नचुहिने गरी हरेक सिलिन्डरमा कसिलो पिस्टन जडान गरिन्छ। मानौँ, सानो पिस्टनको क्षेत्रफल $A_1$ र ठुलो पिस्टनको क्षेत्रफल $A_2$ छ।

सानो पिस्टनमा तलतिर $F_1$ बल (लगाइएको बल) लगाउँदा तरलमा चाप उत्पन्न हुन्छ:

$$P_1 = \frac{F_1}{A_1}$$

तरल खाँदिँदैन। तसर्थ पास्कलको नियमअनुसार त्यही चाप ठुलो पिस्टनसम्म पुग्छ: $P_2 = P_1$। ठुलो पिस्टनको क्षेत्रफल ठुलो भएकाले त्यहाँ ठुलो बल $F_2$ (प्राप्त हुने बल) उत्पन्न हुन्छ:

$$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2} \qquad \text{त्यसैले} \qquad F_2 = F_1 \times \frac{A_2}{A_1}$$

$A_2$ चाहिँ $A_1$ भन्दा ठुलो भएकाले गुणाङ्क $\dfrac{A_2}{A_1}$ जहिले पनि 1 भन्दा ठुलो हुन्छ। ठुलो पिस्टनको क्षेत्रफल सानो पिस्टनको दुई गुणा भए बल पनि दुई गुणा हुन्छ। क्षेत्रफल 50 गुणा भए बल 50 गुणा हुन्छ।

हाइड्रोलिक मेसिनका केही उदाहरण

हाइड्रोलिक मेसिन प्रयोजनअनुसार विभिन्न आकार र साइजमा बनाइन्छन्। सबैमा बल लगाउने एउटा सानो पिस्टन र काम गर्ने एउटा ठुलो पिस्टन हुन्छ।

क. हाइड्रोलिक लिफ्ट

दन्त चिकित्सकले पेडल थिच्दा बिरामी बस्ने कुर्सी माथि उठ्छ। पेडलले सानो पिस्टन धकेल्छ र सिटमुनिको ठुलो पिस्टनले बिरामीलाई उचाल्छ। ग्यारेजमा हाइड्रोलिक कार लिफ्टले पूरै कारलाई माथि उचाल्छ र मिस्त्री त्यसमुनि बसेर काम गर्छन्। यहाँ सानो पिस्टनलाई खुट्टाले नभई कम्प्रेसरबाट आउने खाँदिएको हावाले धकेल्छ। हाइड्रोलिक लिफ्टलाई भारी वस्तु सहज रूपले उचाल्न प्रयोग गरिन्छ।

ख. हाइड्रोलिक ब्रेक

कारमा ब्रेक पेडलले एउटा सानो मास्टर सिलिन्डरको पिस्टन धकेल्छ। डिस्क ब्रेक भएको मोटरसाइकल वा स्कुटरमा यही काम ह्यान्डलको ब्रेक लिभरले गर्छ। मास्टर सिलिन्डरलाई विशेष किसिमको ब्रेक तेल भरिएका पातला पाइपले हरेक पाङ्ग्राको ब्रेक सिलिन्डरसँग जोडिएको हुन्छ। ब्रेक सिलिन्डरको ठुलो पिस्टनले ब्रेक प्याड (वा ब्रेक सु) लाई पाङ्ग्रामा जोडिएको डिस्क वा ड्रममा थिच्छ। पेडलमा लगाइएको सानो बल प्याडमा पुग्दा ठुलो बल बन्छ। तसर्थ तीव्र वेगमा गुडिरहेको सवारी साधनलाई केही सेकेन्डमै रोक्न सकिन्छ। चाप बराबर प्रसारण हुने भएकाले हरेक पाङ्ग्राको ब्रेकमा उही चाप एकै क्षणमा पुग्छ।

ग. हाइड्रोलिक ज्याक

हाइड्रोलिक ज्याकको प्रयोगले ट्रक, बस, कार आदिलाई जमिनबाट केही माथि उचालिन्छ। टायर फेर्दा यस्तो गर्नुपर्छ। ज्याकमा सानो क्षेत्रफल भएको पम्पिङ पिस्टन, ठुलो क्षेत्रफल भएको लिफ्टिङ पिस्टन, तेलको भण्डार र तेललाई एकतर्फी मात्र बग्न दिने दुईओटा भल्भ हुन्छन् (चित्र 8.10):

• तल्लो भल्भले तेललाई पम्पिङ सिलिन्डरबाट लिफ्टिङ सिलिन्डरतिर मात्र बग्न दिन्छ।
• माथिल्लो भल्भले तेललाई भण्डारबाट पम्पिङ सिलिन्डरतिर मात्र बग्न दिन्छ।

सुरुमा रिलिजिङ भल्भ कसिलो गरी बन्द गरिन्छ। त्यसपछि:

1. लिभर तल धकेलिन्छ। पम्पिङ पिस्टनले तेल बाहिर धकेल्दा माथिल्लो भल्भ बन्द हुन्छ र तल्लो भल्भ खुल्छ। तेल लिफ्टिङ सिलिन्डरमा पस्छ र भार अलिकति माथि उठ्छ।
2. लिभर माथि तानिन्छ। भारमुनिको उच्च चापले तल्लो भल्भ बन्द हुने भएकाले भार फेरि तल झर्न सक्दैन। माथिल्लो भल्भ खुल्छ र भण्डारबाट नयाँ तेल पम्पिङ सिलिन्डरमा तानिन्छ।
3. यही क्रिया दोहोर्‍याइन्छ। हरेक धक्कामा भार अलि अलि माथि उठ्दै जान्छ र चाहिने उचाइमा पुग्छ।

भार तल झार्न रिलिजिङ भल्भ खोलिन्छ। यसो गर्दा तेल लिफ्टिङ सिलिन्डरबाट भण्डारमा फर्कन्छ।

घ. हाइड्रोलिक प्रेस

हाइड्रोलिक प्रेसमा थिच्नुपर्ने वस्तुलाई ठुलो पिस्टन र त्यसमाथि अडिएको कडा आडका बिचमा राखिन्छ। सानो पिस्टनमा लगाइएको थोरै बल वृद्धि भई ठुलो पिस्टनमा माथितिर थिच्ने निकै ठुलो बल बन्छ। हाइड्रोलिक प्रेसको प्रयोगले सवारी साधनका कसिला पार्ट्स फिट गर्ने, धातुका पाता बङ्ग्याउने तथा तिनमा प्वाल पार्ने र कागज, कपास तथा परालको कसिलो पोको बनाउने जस्ता काम गरिन्छन्।

पानीले बोतललाई माथितिर धकेल्छ। फ्लुडले आफूभित्रको वस्तुमा माथितिर लगाउने कुल बललाई ऊर्ध्वचाप (buoyant force) भनिन्छ। यसको SI एकाइ न्युटन (N) हो।

कुनै वस्तु फ्लुड (तरल वा ग्यास) मा आंशिक वा पूर्ण रूपले डुब्दा फ्लुडले उक्त वस्तुमा माथितिर लगाउने बललाई ऊर्ध्वचाप भनिन्छ।

फ्लुडमा रहेको हरेक वस्तुमा एकअर्काको विपरीत दिशामा दुईओटा बल लाग्छन् (चित्र 8.11):

• वस्तुको तौल ($W$) अर्थात् गुरुत्वबलको तान, तलतिर;
• फ्लुडको ऊर्ध्वचाप ($U$), माथितिर।

ऊर्ध्वचापले तौलको विपरीत काम गर्छ र तौललाई आंशिक वा पूरै “हराइदिन्छ”। के हुन्छ भन्ने कुरा कुन बल ठुलो छ भन्नेमा भर पर्छ:

तुलना	के हुन्छ	उदाहरण
$W > U$	वस्तु डुब्छ (वा खस्छ)	हावामा छोडिएको बोतल
$W = U$	वस्तु तैरिन्छ (वा जहाँको त्यहीँ रहन्छ)	पानीमा तैरिरहेको बोतल
$W < U$	वस्तु माथि उठ्छ	पानीभित्र धकेलेर छोडिएको बोतल

हावाले पनि ऊर्ध्वचाप दिन्छ। हावाको घनत्व पानीको भन्दा करिब 800 गुणा कम हुने भएकाले बोतल वा बाल्टिनमा हावाको ऊर्ध्वचाप निकै सानो हुन्छ। तसर्थ यसलाई प्रायः वास्ता गरिँदैन। ठुलो बेलुनमा भने हावाको ऊर्ध्वचापले ठुलो फरक पार्छ। यसबारे पछि पढिन्छ।

ऊर्ध्वचापको कारण

पानीभित्र डुबाइराखेको एउटा घनाकार वस्तुलाई विचार गरौँ (चित्र 8.12)। पानीले त्यस वस्तुको हरेक सतहमा सतहसँग लम्ब हुने गरी चाप दिन्छ।

• दायाँ र बायाँ सतहमा लाग्ने बल बराबर र विपरीत दिशामा हुने भएकाले एकअर्कालाई रद्द गर्छन्। अगाडि र पछाडिका सतहमा लाग्ने बल पनि यसै गरी रद्द हुन्छन्।
• तल्लो सतह भने माथिल्लो सतहभन्दा बढी गहिराइमा हुन्छ र गहिराइसँगै चाप बढ्छ। तसर्थ पानीले तल्लो सतहलाई माथितिर धकेल्ने बल माथिल्लो सतहलाई तलतिर धकेल्ने बलभन्दा ठुलो हुन्छ।

तल्लो सतहमा माथितिर लाग्ने बलबाट माथिल्लो सतहमा तलतिर लाग्ने बल घटाउँदा आउने परिमाणात्मक बल माथितिर हुन्छ। यसैलाई ऊर्ध्वचाप भनिन्छ। बढी गहिराइ जहिले पनि तलतिर हुने भएकाले ऊर्ध्वचाप जहिले पनि माथितिर लाग्छ।

ऊर्ध्वचापको मापन

हावामा मापन गरिएको वस्तुको तौल ($W_1$) लाई वास्तविक तौल भनिन्छ। तरल पदार्थभित्र रहेको वस्तुको मापन गरिएको तौल ($W_2$) लाई अवास्तविक तौल (देखिने तौल) भनिन्छ। ढुङ्गाको पिण्ड घटेको होइन। ऊर्ध्वचापले स्प्रिङमाथिको भारको केही भाग मात्र लिइदिएको हो। तसर्थ

$$\text{ऊर्ध्वचाप } (U) = \text{वास्तविक तौल } (W_1) - \text{अवास्तविक तौल } (W_2)$$

ऊर्ध्वचापलाई असर गर्ने तत्त्वहरू

क. तरलको घनत्व

कुनै वस्तुमा लाग्ने ऊर्ध्वचाप तरलको घनत्वसँग समानुपातिक हुन्छ। अर्थात् तरलको घनत्व जति बढी, उही वस्तुमा लाग्ने ऊर्ध्वचाप उति बढी हुन्छ।

यही कारणले फलामको गोला पानीमा डुब्छ तर पानीको भन्दा 13.6 गुणा बढी घनत्व भएको पारोमा तैरिन्छ। समुद्रको पानीको घनत्व बढी हुने भएकाले पानीजहाज नदीको पानीमा भन्दा समुद्रको पानीमा अलि माथि तैरिन्छ। नदी वा पोखरीमा भन्दा समुद्रमा पौडी खेल्न सजिलो हुनुको कारण पनि यही हो।

ख. विस्थापित तरलको आयतन

कुनै वस्तु तरलमा पस्दा वस्तुले तरललाई आफ्नो बाटोबाट पन्छाउँछ। यसलाई तरल विस्थापित गर्नु भनिन्छ। वस्तुको सतहमुनिको भागले पहिले तरल रहेको ठाउँ ओगट्छ।

धातुको ठोस बेलनाकार वस्तुलाई स्प्रिङ ब्यालेन्समा झुन्ड्याएर बिस्तारै पानीमा डुबाउँदा के हुन्छ, विचार गरौँ (चित्र 8.14)। वस्तुको जति बढी भाग पानीमुनि जान्छ, त्यति नै बढी पानी विस्थापित हुन्छ र स्प्रिङ ब्यालेन्सको रिडिङ घट्दै जान्छ। पूरै डुबिसकेपछि भने वस्तुलाई जति गहिराइमा लगे पनि रिडिङ स्थिर रहन्छ।

कुनै वस्तुमा लाग्ने ऊर्ध्वचाप उक्त वस्तुले विस्थापित गरेको तरलको आयतनसँग समानुपातिक हुन्छ।

• बराबर आयतन तर फरक फरक तौल भएका दुईओटा घन (जस्तै: एउटा फलामको र अर्को आल्मिनियमको) लाई पूरै पानीमा डुबाउँदा दुवैबाट उत्तिकै पानी विस्थापित हुन्छ। तसर्थ दुवैमा समान ऊर्ध्वचाप लाग्छ।
• हावा नछिर्ने गरी बिर्को लगाइएको ठुलो प्लास्टिकको बोतलले सानो बोतलको भन्दा धेरै पानी विस्थापित गर्छ। तसर्थ ठुलो बोतलमा बढी ऊर्ध्वचाप लाग्छ र त्यसलाई पानीमा डुबाउन बढी बल लगाउनुपर्छ।
• यसै गरी हिलियम भरिएको ठुलो बेलुनमा सानो बेलुनमा भन्दा हावाको बढी ऊर्ध्वचाप लाग्छ।

ऊर्ध्वचाप ठ्याक्कै कति हुन्छ? यसको उत्तर तलको प्रयोगबाट पाइन्छ।

यो सिद्धान्त पहिलो पटक ग्रिक गणितज्ञ तथा इन्जिनियर आर्किमिडिजले प्रतिपादन गरेका थिए। उनी इसापूर्व 287 मा सिसिली टापुको सिराकुसमा जन्मेका थिए।

आर्किमिडिजको सिद्धान्त: कुनै वस्तुलाई फ्लुडमा आंशिक वा पूर्ण रूपले डुबाउँदा उक्त वस्तुमा लाग्ने ऊर्ध्वचाप वस्तुले विस्थापित गरेको फ्लुडको तौलसँग बराबर हुन्छ।

यो सिद्धान्त तरलका लागि मात्र नभई ग्याससहित सबै फ्लुडमा लागु हुन्छ। गणितीय रूपमा,

$$U = \text{विस्थापित फ्लुडको तौल} = mg$$

विस्थापित फ्लुडको पिण्ड त्यसको आयतन र घनत्वको गुणनफल हुन्छ: $m = V\rho$। तसर्थ

$$U = V\rho g$$

यहाँ $V$ ले विस्थापित फ्लुडको आयतन (वस्तुको सतहमुनिको भागको आयतन), $\rho$ ले फ्लुडको घनत्व र $g$ ले गुरुत्व प्रवेगलाई जनाउँछन्। माथि पत्ता लगाइएका दुवै तत्त्व यही एउटै सूत्रमा पर्छन्। अर्थात् विस्थापित आयतन बढ्दा र फ्लुडको घनत्व बढ्दा ऊर्ध्वचाप बढ्छ।

तसर्थ कुनै वस्तु तैरिन्छ कि डुब्छ भन्ने कुरा वस्तुको तौल र ऊर्ध्वचापमा भर पर्छ। ऊर्ध्वचाप चाहिँ वस्तुले कति तरल विस्थापित गर्न सक्छ भन्नेमा भर पर्छ।

सापेक्षिक घनत्व

माथिको उदाहरणको भाग घ मा प्रयोग गरिएको तरिका निकै उपयोगी छ। एउटा स्प्रिङ ब्यालेन्स र एक कचौरा पानी मात्र भए पनि जुनसुकै आकारको ढुङ्गाको घनत्व पत्ता लगाउन सकिन्छ। कुनै पदार्थको घनत्व र पानीको घनत्वको अनुपातलाई उक्त पदार्थको सापेक्षिक घनत्व भनिन्छ:

$$\text{सापेक्षिक घनत्व} = \frac{\text{पदार्थको घनत्व}}{\text{पानीको घनत्व}} = \frac{W_1}{W_1 - W_2}$$

दोस्रो रूप सिधै आर्किमिडिजको सिद्धान्तबाट आउँछ। $W_1 - W_2$ चाहिँ वस्तुको आयतन बराबरको पानीको तौल हो। सापेक्षिक घनत्व दुईओटा घनत्वको अनुपात भएकाले यसको एकाइ हुँदैन। माथिको ढुङ्गाको सापेक्षिक घनत्व $\dfrac{4.9}{1.47} \approx 3.3$ हुन्छ। अर्थात् ढुङ्गाको घनत्व पानीको भन्दा 3.3 गुणा छ।

एउटै पदार्थको ठोस डल्लोका लागि एउटा सरल नियम लागु हुन्छ: वस्तुको घनत्व तरलको घनत्वभन्दा कम भए वस्तु तैरिन्छ र बढी भए डुब्छ। काठ (करिब 600 kg/m³) पानी (1000 kg/m³) मा तैरिन्छ भने ढुङ्गा (करिब 2,500 kg/m³) डुब्छ। तर पदार्थको घनत्वलाई तरलको घनत्वसँग तुलना गरेर मात्र वस्तु तैरिने वा डुब्ने कुरा निश्चित हुँदैन। यो कुरा तलको क्रियाकलापबाट थाहा हुन्छ।

आल्मिनियमको घनत्व 2,700 kg/m³ हुन्छ। यो पानीको घनत्वको 2.7 गुणा हो। घनत्वका आधारमा आल्मिनियम पानीमा डुब्नुपर्ने हो र डल्लो डुब्छ पनि। थाल भने तैरिन्छ। तसर्थ वस्तु तैरिनु वा डुब्नु पदार्थको घनत्वमा मात्र नभई वस्तुको आकारमा पनि भर पर्छ। वस्तुले कति पानी विस्थापित गर्न सक्छ भन्ने कुरा आकारमा भर पर्छ। वास्तवमा भित्रको हावासमेत गरी पूरै वस्तुको औसत घनत्व महत्त्वपूर्ण हुन्छ। आफूभित्रको हावासहित थालको औसत घनत्व पानीको घनत्वभन्दा कम हुन्छ।

तरलमा राखिएको वस्तुमा लाग्ने तौल र ऊर्ध्वचाप ठिक एकअर्काको विपरीत दिशामा लाग्ने बल हुन्। ऊर्ध्वचापले वस्तुको तौललाई रद्द गर्न सकेमा परिमाणात्मक बल शून्य हुन्छ र वस्तु तरलमा तैरिन्छ।

तैरिरहेको वस्तु आंशिक वा पूर्ण रूपले सतहमुनि हुन सक्छ। तरलभित्र डुबेको भागले मात्र तरल विस्थापित गर्छ। कुनै वस्तु तरलमा तैरिन वस्तुको तौल विस्थापित तरलको तौलसँग बराबर हुनुपर्छ। यसलाई फ्लटेसनको नियम भनिन्छ:

तैरिरहेको वस्तुले आफ्नो तौल बराबर तौल भएको तरल विस्थापित गर्छ।

$$\text{तैरिरहेको वस्तुको तौल} = \text{विस्थापित तरलको तौल}$$

क. तरलमा तैरिनु

पानीजहाज र डुङ्गा

फलामको ढिक्कालाई पानीमा राख्दा यसले आफ्नो तौल बराबरको पानी विस्थापित गर्न सक्दैन र डुब्छ। ढिक्काले आफ्नै आयतन बराबरको पानी मात्र विस्थापित गर्छ र त्यो पानीको तौल ढिक्काको भन्दा धेरै कम हुन्छ। त्यही फलामलाई पिटेर कचौराको आकार दिएमा कचौरा तैरिन्छ। कचौराले धेरै ठुलो आयतनको पानी विस्थापित गर्छ र यस पानीको तौल कचौराको तौल बराबर हुन्छ (चित्र 8.16)। पानीजहाज यही कुराको विशाल रूप हो। पानीजहाजको हल (जहाजको मुख्य ढाँचा) पर्याप्त चौडा, लामो र गहिरो बनाइन्छ। यसले गर्दा जहाजले आफ्नो तौल बराबर ऊर्ध्वचाप पुग्ने जति पानी विस्थापित गर्न सक्छ। उदाहरणका लागि 50,000 टन तौल भएको पानीजहाज 50,000 टन पानी विस्थापित गर्ने गहिराइसम्म डुब्नुपर्छ। तसर्थ फलाम पानीमा डुब्छ तर फलामबाट बनेको पानीजहाज तैरिन्छ।

डुङ्गा पनि यसै गरी तैरिन्छ। मानिस चढ्दा डुङ्गा अलि तल डुब्छ र बढी पानी विस्थापित गर्छ। यसले गर्दा डुङ्गामा लाग्ने ऊर्ध्वचाप पनि बढ्छ र थपिएको तौल धान्न पुग्छ। पानीको सतह डुङ्गाको माथिल्लो किनारासम्म पुगेपछि भने डुङ्गाले थप पानी विस्थापित गर्न सक्दैन। यस अवस्थामा अझ तौल थपे ऊर्ध्वचाप त्यति बढ्न सक्दैन। तसर्थ डुङ्गाभित्र पानी पस्छ र डुङ्गा डुब्छ। डुङ्गाको पिँधमा प्वाल परेमा पनि पानी भित्र पस्छ। भित्र पसेको पानीले डुङ्गाको तौल बढाउँछ। डुङ्गाको औसत घनत्व कम राख्ने हावा पनि हट्छ र डुङ्गा डुब्छ।

पनडुब्बी र माछा

पनडुब्बी पानीको सतहमा तैरिन पनि सक्ने र पानीभित्र धेरै गहिराइमा यात्रा गर्न पनि सक्ने गरी बनाइएको हुन्छ। यसमा ठुला ब्यालास्ट ट्याङ्की हुन्छन्। तल डुब्नका लागि ट्याङ्कीमा समुद्रको पानी भरिन्छ। यसले गर्दा पनडुब्बीको तौल बढेर ऊर्ध्वचापभन्दा बढी हुन्छ र पनडुब्बी गहिराइमा जान्छ। माथि आउनका लागि खाँदिएको हावाले ट्याङ्कीबाट पानी बाहिर निकालिन्छ। तौल घटेपछि ऊर्ध्वचाप ठुलो हुन्छ र पनडुब्बी फेरि सतहतिर उठ्छ। ट्याङ्की आंशिक रूपमा भरिएको अवस्थामा पनडुब्बी जुनसुकै गहिराइमा पनि स्थिर रहन सक्छ।

धेरै माछाले पनि यही तरिका अपनाउँछन्। माछाको शरीरमा ग्यास भरिएको एउटा थैली हुन्छ। यसलाई हावाको थैली (स्विम ब्लाडर) भनिन्छ। थैलीमा बढी ग्यास भरिँदा शरीरको आयतन बढ्छ। यसले गर्दा शरीरले बढी पानी विस्थापित गर्छ र ऊर्ध्वचाप पनि बढ्छ। अनि माछा माथि उठ्छ। थैलीबाट ग्यास निकाल्दा शरीरको आयतनसँगै ऊर्ध्वचाप पनि घट्छ र माछा गहिराइतिर जान्छ। (ठ्याक्कै भन्ने हो भने पनडुब्बीले आयतन उही राखेर आफ्नो तौल बदल्छ भने माछाले तौल उही राखेर आफ्नो आयतन बदल्छ। दुवै अवस्थामा तौल र ऊर्ध्वचापबिचको सन्तुलन बदलिन्छ।)

हाइड्रोमिटर र ल्याक्टोमिटर

हाइड्रोमिटर तरल पदार्थको सापेक्षिक घनत्व मापन गर्न प्रयोग गरिने उपकरण हो। यो बन्द गरिएको काँचको नली हो। यसको तलतिर फराकिलो बल्ब र माथितिर स्केल अङ्कित मसिनो डन्डी हुन्छ। तरलमा ठाडो भएर तैरियोस् भनेर बल्बमा सिसाका दाना वा पारो राखेर गह्रौँ बनाइन्छ। आफ्नो तौल बराबरको तरल विस्थापित नगरुन्जेल हाइड्रोमिटर डुब्दै जान्छ। बढी घनत्व भएको तरलमा थोरै आयतनले पुग्ने भएकाले हाइड्रोमिटर माथि तैरिन्छ। कम घनत्व भएको तरलमा भने हाइड्रोमिटर बढी डुब्छ। तरलको सतह डन्डीमा जुन अङ्कमा पर्छ, त्यही अङ्क तरलको सापेक्षिक घनत्व हो। तसर्थ डन्डीमा अङ्कहरू तलतिर जाँदा ठुला हुँदै जान्छन्।

ल्याक्टोमिटर दुधमा पानीको मिसावट परीक्षण गर्न प्रयोग गरिने एक प्रकारको हाइड्रोमिटर हो। गाईको शुद्ध दुधको घनत्व पानीको भन्दा अलि बढी हुन्छ। यसको सापेक्षिक घनत्व करिब 1.028 देखि 1.034 सम्म हुन्छ। दुधमा पानी मिसाइएको छ भने दुधको घनत्व घट्छ र ल्याक्टोमिटर हुनुपर्नेभन्दा बढी डुब्छ। डेरी तथा दुध सङ्कलन केन्द्रमा दुधलाई यसै गरी जाँचिन्छ।

ख. वायुमण्डलमा तैरिनु

तरलमा जस्तै वस्तुहरू ग्यासमा पनि तैरिन सक्छन्। वस्तुले विस्थापित गरेको हावाको तौल बराबर ऊर्ध्वचाप हावाले वस्तुमा दिन्छ। हावाको घनत्व करिब 1.2 kg/m³ मात्र हुन्छ। तसर्थ आफ्नो साइजको तुलनामा निकै हलुका वस्तुमा मात्र हावाको ऊर्ध्वचापले फरक पार्छ।

हिलियम वा हाइड्रोजन भरिएको बेलुन यस्तै वस्तु हो। बेलुनले विस्थापित गरेको हावाको तौल बेलुन र भित्रको ग्याससहितको तौलभन्दा बढी हुन्छ। तसर्थ ऊर्ध्वचाप तौलभन्दा ठुलो हुन्छ र बेलुन माथि उठ्छ। बेलुन माथि जाँदै गर्दा हावा पातलो हुँदै जान्छ र ऊर्ध्वचाप घट्दै जान्छ। निश्चित उचाइमा पुगेपछि ऊर्ध्वचाप बेलुनको तौल बराबर हुन्छ र बेलुन त्यहीँ तैरिन्छ। बाहिरको हावाको चाप घट्दै जाँदा भित्रको ग्यासले बेलुनको छालालाई बाहिरतिर धकेल्छ र बेलुन फुल्दै जान्छ। रमाइलोका लागि उडाइने बेलुन यसरी फुल्दै गएर अन्त्यमा फुट्छ।

हाइड्रोजन बेलुन जस्तै तातो हावा भरिएको बेलुन पनि हावामा उड्छ। यसमा हलुको ग्यासको सट्टा तातो हावा प्रयोग गरिन्छ। हावा तताउँदा फैलिन्छ र यसको घनत्व घट्छ। विशाल बेलुनभित्रको तातो हावाको घनत्व वरिपरिको चिसो हावाको भन्दा कम हुन्छ। बेलुनले ठुलो आयतनको चिसो हावा विस्थापित गर्छ। तसर्थ बेलुनमा लाग्ने ऊर्ध्वचाप बेलुन, भित्रको तातो हावा, टोकरी र मानिसहरूको कुल तौलभन्दा बढी हुन्छ र बेलुन माथि उड्छ। माथिको पातलो हावामा पुग्दा ऊर्ध्वचाप घट्छ। निश्चित उचाइमा ऊर्ध्वचापले बेलुनको तौललाई सन्तुलन गर्छ र बेलुन त्यहीँ तैरिन्छ।

बेलुन माथि जाने वा तल झर्ने कुरा चालकले बर्नरद्वारा भित्रको हावाको तापक्रम बदलेर नियन्त्रण गर्छन्। बर्नरको ज्वाला बाल्दा भित्रको हावा अझ तातो हुन्छ र यसको घनत्व घट्छ। बेलुन हलुको भएर माथि उठ्छ। बर्नर बन्द गर्दा भित्रको हावा चिसो हुन्छ र यसको घनत्व बढ्छ। बेलुनको तौल ऊर्ध्वचापभन्दा बढी भएपछि बेलुन बिस्तारै जमिनतिर ओर्लिन्छ।

1. तलका प्रश्नको सही विकल्प छनोट गर्नुहोस्

2. फरक लेख्नुहोस्

3. कारण लेख्नुहोस्

4. तलका प्रश्नको उत्तर लेख्नुहोस्

5. गणितीय समस्या समाधान गर्नुहोस्