परीक्षा अभ्यास

g = GM/R² भएकाले g पृथ्वीको केन्द्रबाटको दुरीमा भर पर्छ। पृथ्वी पूर्ण गोलाकार नभई ध्रुवतिर थेप्चिएको र भूमध्य रेखातिर फुकेको हुनाले ध्रुवका ठाउँ भूमध्य रेखाका ठाउँभन्दा केन्द्रको नजिक पर्छन्। पहाडका टुप्पा पनि समथर भागभन्दा केन्द्रबाट टाढा हुन्छन्। यसैले g ठाउँअनुसार फरक हुन्छ: ध्रुवमा करिब 9.83 m/s², भूमध्य रेखामा 9.78 m/s² र अग्ला पहाडमा अलि कम। (पृथ्वीको घुमाइले पनि भूमध्य रेखामा g अलिकति घटाउँछ।)

खसिरहेको शरीरको वेग बढिरहन्छ। u = 0 राख्दा v² = u² + 2gh बाट भुइँमा पुग्दाको वेग v = √(2gh) हुन्छ। अर्थात् उचाइ जति बढी भयो, वेग उति बढी हुन्छ। भुइँमा ठोक्किने छोटो क्षणमै यो वेग शून्यमा झार्नुपर्छ। वेग ठुलो हुँदा मोमेन्टमको परिवर्तन पनि ठुलो हुनाले शरीरमा धेरै ठुलो बल लाग्छ र चोट बढी लाग्छ। 1 m बाट हाम फाल्दा भुइँमा पुग्दाको वेग 4.4 m/s हुन्छ भने 5 m बाट 9.9 m/s हुन्छ।

g = GM/R² मा पिण्डसँगै अर्धव्यास पनि छ, त्यो पनि अर्धव्यासको वर्ग। बृहस्पतिको अर्धव्यास पृथ्वीको करिब 11 गुणा भएकाले R² 121 गुणा हुन्छ र यसको g पृथ्वीको 319/121 ≈ 2.6 गुणा मात्र हुन्छ। विशाल आकारका कारण बृहस्पतिको विशाल पिण्डको असर धेरैजसो घट्छ।

पृथ्वी ध्रुवतिर थेप्चिएको भएकाले ध्रुवीय भाग भूमध्य रेखाभन्दा पृथ्वीको केन्द्रको नजिक पर्छ। g ∝ 1/R² भएकाले ध्रुवमा g (9.83 m/s²) भूमध्य रेखाको (9.78 m/s²) भन्दा बढी हुन्छ। प्रवेग बढी भएकाले ध्रुवमा खसालेको वस्तुको वेग छिटो बढ्छ र त्यो पहिले भुइँमा पुग्छ।

दुवै पानाको पिण्ड र तौल उही हुन्छ। तर चेप्टो पानाको हावातिर फर्केको सतह धेरै ठुलो हुने भएकाले त्यसमा धेरै हावाको अवरोध लाग्छ र त्यो ढिलो खस्छ। डल्लो कसिलो हुने भएकाले त्यसमा हावाको अवरोध थोरै हुन्छ। त्यो झन्डै स्वतन्त्र रूपले खसेर पहिले भुइँमा पुग्छ।

शून्य स्थानमा हावाको अवरोध नहुने भएकाले दुवै g प्रवेगले स्वतन्त्र रूपले खस्छन्। g = GM/R² खसिरहेको वस्तुको पिण्डमा भर नपर्ने भएकाले गुच्चा र प्वाँखको वेग उही दरले बढ्छ र दुवै सँगै भुइँमा पुग्छन्।

माथि चढ्दै जाँदा पृथ्वीको केन्द्रबाटको दुरी बढ्नाले g = GM/(R+h)² घट्छ (समुद्र सतहमा करिब 9.81 m/s² बाट चुचुरोमा करिब 9.78 m/s²)। तौल W = mg भएकाले पिण्ड उही रहँदा तौल अलिकति घट्छ। (यो कमी करिब 0.3% मात्र हो। आरोही थाक्दै जाने र हावा पातलो हुने भएकाले भारी हलुका भएको भने महसुस हुँदैन!)

ढुङ्गा उचाल्न कम्तीमा त्यसको तौल बराबरको बल माथितिर लगाउनुपर्छ। तौल W = mg हुन्छ र एउटै ठाउँमा g उही हुने भएकाले तौल पिण्डसँग समानुपातिक हुन्छ। ठुलो ढुङ्गाको पिण्ड बढी हुने भएकाले त्यसको तौल पनि बढी हुन्छ र त्यसलाई उचाल्न ठुलो बल चाहिन्छ।

पिण्ड वस्तुमा भएको पदार्थको मात्रा हो। वस्तुलाई अर्को ठाउँमा लैजाँदा यो बदलिँदैन। तौल भने वस्तुमा लाग्ने गुरुत्वबल W = mg हो। g ठाउँअनुसार (ध्रुव, भूमध्य रेखा, पहाडको टुप्पो, चन्द्रमा) बदलिनाले पिण्ड उही रहे पनि तौल बदलिन्छ।

सिट चक्काको टुप्पो पार गरेर तल झर्दा सिटमा तलतिर प्रवेग हुन्छ। हामी पनि सिटसँगै झन्डै स्वतन्त्र रूपले खस्नाले सिटले हामीलाई सामान्यभन्दा धेरै कम बलले माथितिर थिच्छ, अर्थात् हामी आंशिक रूपमा तौलविहीन हुन्छौँ। सामान्य अवस्थामा शरीरले थामेर राखेका हाम्रा भित्री अङ्गहरूले पनि यस बेला एकअर्कालाई कम थिच्छन्। पेटमा हुने त्यो अनौठो, तैरिएजस्तो अनुभव नै सिरिङ्ङ हुनु हो।

ब्रह्माण्डका कुनै पनि दुई वस्तुबिच तिनको पिण्डका कारण हुने आकर्षणलाई गुरुत्वाकर्षण (गुरुत्वाकर्षण बल) भनिन्छ। जस्तै: सूर्य र पृथ्वीबिचको बल वा दुईओटा ढुङ्गाबिचको बल।

ब्रह्माण्डको हरेक वस्तुले अरू हरेक वस्तुलाई आकर्षण गर्छ। कुनै पनि दुई वस्तुबिचको यो आकर्षण बल ती वस्तुका पिण्डहरूको गुणनफलसँग समानुपातिक र तिनका केन्द्रबिचको दुरीको वर्गसँग व्युत्क्रमानुपातिक हुन्छ: $F = \dfrac{G m_1 m_2}{d^2}$।

• यो सधैँ आकर्षण हो, कहिल्यै विकर्षण होइन।
• यो ब्रह्माण्डमा जहाँसुकै पिण्ड भएका सबै वस्तुबिच लाग्छ।
• यो पारस्परिक हुन्छ: दुई वस्तुले एकअर्कालाई बराबर र विपरीत बलले तान्छन्।
• यो दुई वस्तुका केन्द्र जोड्ने रेखामा लाग्छ।
• साना वस्तुबिच यो बल धेरै कमजोर हुन्छ तर ग्रह र ताराबिच धेरै ठुलो हुन्छ।
• यो जतिसुकै टाढासम्म, खाली अन्तरिक्ष हुँदै पनि लाग्छ। वस्तुहरूका बिचमा जस्तोसुकै पदार्थ भए पनि यसमा फरक पर्दैन।

केन्द्रबिच 1 m दुरी भएका, 1 kg पिण्डका दुई वस्तुबिचको गुरुत्वाकर्षण बललाई गुरुत्वाकर्षण अचर (G) भनिन्छ। यसको मान 6.67 × 10⁻¹¹ N m²/kg² हुन्छ।

m₁ = m₂ = 1 kg र d = 1 m हुँदा: $F = \dfrac{G \times 1 \times 1}{1^2} = G$।
(सामान्य रूपमा भन्दा, m₁m₂/d² = 1 हुँदा जहिले पनि F = G हुन्छ।)

1. गुरुत्वाकर्षण बलले गर्दा ग्रहहरू सूर्यको वरिपरि र चन्द्रमा पृथ्वीको वरिपरि घुमिरहन्छन्।
2. चन्द्रमाको गुरुत्वाकर्षणले गर्दा समुद्रमा ज्वारभाटा आउँछ।

सुरुमा: $F_1 = \dfrac{G m_1 m_2}{d^2}$।
नयाँ पिण्ड 2m₁ र 2m₂; नयाँ दुरी d/4:
$$F_2 = \frac{G (2m_1)(2m_2)}{(d/4)^2} = \frac{4 G m_1 m_2}{d^2/16} = 64 \times \frac{G m_1 m_2}{d^2} = 64 F_1$$
बल 64 गुणा हुन्छ।

कुनै ग्रह, उपग्रह वा ताराले वस्तुलाई आफ्नो केन्द्रतिर तान्ने बललाई गुरुत्वबल (गुरुत्व) भनिन्छ। पृथ्वीको गुरुत्वबलले गर्दा वस्तुको तौल हुन्छ र वस्तु तल खस्छन्।

स्वतन्त्र रूपले खसिरहेको वस्तुमा गुरुत्वबलले उत्पन्न गर्ने प्रवेगलाई गुरुत्व प्रवेग (g) भनिन्छ। पृथ्वीको सतहमा यसको मान करिब 9.8 m/s² हुन्छ।

अरू कुनै बल (जस्तै हावाको अवरोध) नलागी केवल गुरुत्वबलको प्रभावमा वस्तु खस्नुलाई स्वतन्त्र खसाइ भनिन्छ।
उदाहरण:

• i.हावा नभएको चन्द्रमामा खसालिएका हथौडा र प्वाँख;
• ii.हावा झिकिएको नलीभित्रका सिक्का र प्वाँख।

झन्डै स्वतन्त्र खसाइ: थोरै उचाइबाट खसालिएको ढुङ्गा; पृथ्वीको परिक्रमा गरिरहेको अन्तरिक्ष केन्द्र र त्यसभित्रका अन्तरिक्ष यात्री।

वस्तुमा गुरुत्वबल मात्र लाग्दा वस्तुको खसाइ स्वतन्त्र हुन्छ। यसका लागि हावाको अवरोध वा ऊर्ध्वचाप हुनुहुँदैन (शून्य स्थानमा जस्तै, वा हावाको अवरोध नगण्य हुँदा) र कुनै कुराले वस्तुलाई थामेको वा धकेलेको हुनुहुँदैन। त्यस बेला वस्तुको प्रवेग g हुन्छ।

1. हावाको अवरोधले प्वाँखलाई धेरै बढी ढिलो पार्नाले हावामा सिक्का प्वाँखभन्दा छिटो खस्छ।
2. शून्य स्थानमा प्वाँख र सिक्का सँगै खस्छन्।
3. अर्थात् हावाको अवरोध नहुँदा सबै वस्तु उही प्रवेगले खस्छन्: g खसिरहेको वस्तुको पिण्डमा भर पर्दैन।

स्वतन्त्र खसाइमा रहेको वस्तुले कुनै वस्तुलाई नथिच्ने र सँगै खसिरहेको स्प्रिङ तराजुको रिडिङ शून्य हुने अवस्थालाई तौल विहीनता भनिन्छ। यस अवस्थामा वस्तुको तौल नै नभएजस्तो देखिन्छ। गुरुत्वबल त्यसमा लागिरहेकै हुन्छ, तर वरिपरिका सबै वस्तु उही प्रवेगले खसिरहेका हुन्छन्। परिक्रमा गरिरहेको अन्तरिक्ष यानका अन्तरिक्ष यात्री तौलविहीन हुन्छन्।

1. सबै वस्तुको तौल हुन्छ।
2. पृथ्वीले आफ्नो वायुमण्डल समातेर राखेको छ।
3. छोडेका वस्तु भुइँमा खस्छन् र माथि फालेका वस्तु फर्केर तल आउँछन्।
4. खोलानाला तलतिर बग्छन्।

(अरू असर: खसिरहेका वस्तुमा प्रवेग उत्पन्न हुन्छ; पानी पर्छ; हामी जमिनमै टिकिरहन्छौँ।)

मानौँ, M पिण्ड र R अर्धव्यास भएको पृथ्वीको सतहमा m पिण्ड भएको वस्तु छ। न्युटनको गुरुत्वाकर्षण नियमअनुसार वस्तुमा लाग्ने बल $F = \dfrac{GMm}{R^2}$ …(i) हुन्छ।
यही बलले वस्तुमा g प्रवेग उत्पन्न गर्छ। न्युटनको चालसम्बन्धी दोस्रो नियमअनुसार $F = mg$ …(ii) हुन्छ।
(i) र (ii) बाट: $mg = \dfrac{GMm}{R^2}$, अर्थात् $g = \dfrac{GM}{R^2}$।
G अचर र पृथ्वीको पिण्ड M स्थिर भएकाले $g \propto \dfrac{1}{R^2}$ हुन्छ।

g = GM/(R + h)² बाट:

1. ग्रह वा उपग्रहको पिण्ड (पिण्ड बढी भए g बढी)।
2. ग्रहको अर्धव्यास (अर्धव्यास बढी भए g कम)। यसैले पृथ्वीको आकारको पनि असर पर्छ: ध्रुवमा g भूमध्य रेखामा भन्दा बढी हुन्छ।
3. सतहबाटको उचाइ (जति माथि गयो, g उति कम)।

यसका साथै पृथ्वीको घुमाइ (यसले भूमध्य रेखामा g घटाउँछ) र जमिनमुनिका चट्टानको घनत्वको पनि g मा अलिकति असर पर्छ। तर g खसिरहेको वस्तुको पिण्डमा भर पर्दैन।

यसको अर्थ हो: पृथ्वीको सतहनजिक स्वतन्त्र रूपले खसिरहेको वस्तुको वेग हरेक सेकेन्डमा 9.8 m/s ले बढ्छ (र सिधा माथि फालिएको वस्तुको वेग हरेक सेकेन्डमा 9.8 m/s ले घट्छ)। पृथ्वीले हरेक किलोग्राम पिण्डलाई 9.8 N बलले तान्छ भन्ने पनि यसको अर्थ हो।

अर्धव्यास मात्र बदलिन्छ: R बाट R/3.7 हुन्छ।

अहिले: $g = \dfrac{GM}{R^2}$। खाँदेपछि पिण्ड M उही रहन्छ र अर्धव्यास R/3.7 हुन्छ:
$$g' = \frac{GM}{(R/3.7)^2} = 3.7^2 \times \frac{GM}{R^2} = 13.7\,g$$
g करिब 13.7 गुणा हुन्छ: 13.7 × 9.8 ≈ 134 m/s²। (प्रश्नमा पृथ्वीकै पिण्ड राखिएकाले चन्द्रमाको पिण्ड, पृथ्वीको 1/81, यहाँ चाहिँदैन। तुलनाका लागि, चन्द्रमाको आफ्नै g पृथ्वीको $\tfrac{1}{81} \times 3.7^2 = 0.17$ गुणा, अर्थात् करिब छ भागको एक भाग हो।)

त्यो पनि 2 m/s² नै हुन्छ। कुनै बिन्दुमा गुरुत्व प्रवेग g = GM/d² हुन्छ। यो तान्ने खगोलीय पिण्डको पिण्ड M र त्यसको केन्द्रबाटको दुरी d मा मात्र भर पर्छ, खसिरहेको वस्तुको पिण्डमा भर पर्दैन। 10 kg को वस्तुलाई 10 गुणा बढी बलले तानिए पनि त्यसको वेग बढाउन 10 गुणा बढी बल नै चाहिने भएकाले त्यसको प्रवेग उही हुन्छ।

पदार्थको मात्रा नबदलिनाले दुवै ठाउँमा पिण्ड उही हुन्छ।
तौल भने तराईमा भन्दा हिमालमा अलि कम हुन्छ। हिमाल पृथ्वीको केन्द्रबाट टाढा भएकाले त्यहाँ g कम हुन्छ र W = mg हुन्छ।

डिजिटल तराजुमा जोख्दा युक्तिले केही हदसम्म “काम” गर्छ, तर फाइदा अत्यन्त थोरै हुन्छ। डिजिटल वा स्प्रिङ तराजुले तौल नाप्छ र त्यसलाई किलोग्राममा देखाइन्छ। g अलि कम हुने पहाडमा सुन्तलाले तराजुलाई कम थिच्छ र सुन्तला अलि हलुका देखिन्छ। तराईमा उही सुन्तला अलि गह्रौँ देखिन्छ। तर 3000 m उचाइको फरकमा यो फरक करिब 0.1% मात्र हुन्छ, अर्थात् 10 kg मा करिब 10 g। साथै एउटा ठाउँका लागि मिलाइएको तराजु अर्को ठाउँमा लैजाँदा फेरि मिलाउनुपर्छ।
भौतिक तराजुले जोखेको भए युक्तिले काम गर्दैनथ्यो। भौतिक तराजुले वस्तुलाई अर्को पल्लामा राखिएका मानक ढकसँग तुलना गर्छ। तराईमा लैजाँदा सुन्तला र ढक दुवैका लागि g ठ्याक्कै उही अनुपातमा बढ्नाले तराजु उही ढकमै सन्तुलित हुन्छ। यसरी भौतिक तराजुले पिण्ड नाप्छ। पिण्ड नबदलिने भएकाले किनेको 10 kg बेच्दा पनि 10 kg नै हुन्छ र फाइदा हुँदैन।

प्यारासुट खुल्दा त्यसको ठुलो छातामा धेरै हावाको अवरोध लाग्छ र यो अवरोध वेगसँगै बढ्छ। छिट्टै हावाको अवरोध प्यारासुटसहितको व्यक्तिको तौलसँग बराबर हुन्छ। त्यसपछि परिमाणात्मक बल शून्य हुन्छ र प्रवेग पनि शून्य हुन्छ। व्यक्ति सानो र स्थिर वेगमा (टर्मिनल भेलोसिटी, करिब 5 m/s) खस्छ र सुरक्षित अवतरण सम्भव हुन्छ।
चन्द्रमामा यो सम्भव हुँदैन। त्यहाँ वायुमण्डल नभएकाले हावाको अवरोध हुँदैन र प्यारासुटले खसाइ ढिलो पार्न सक्दैन। अन्तरिक्ष यात्री स्वतन्त्र खसाइमा हुन्छन्, उनीहरूको वेग बढिरहन्छ र उनीहरू सतहमा तीव्र वेगमा बजारिन्छन्। (चन्द्रमामा अन्तरिक्ष यानहरू रकेट प्रयोग गरेर अवतरण गर्छन्।)

न्युटनको दोस्रो नियमअनुसार a = F/m हुनाले स्थिर बल लगाउँदा ठुलो पिण्डको प्रवेग सानो हुन्छ। तर खसाइमा बल स्थिर हुँदैन: यहाँ बल भनेको तौल F = mg हो र तौल आफैँ पिण्डसँग समानुपातिक हुन्छ। गह्रौँ वस्तुलाई ठ्याक्कै त्यसको पिण्डको अनुपातमा बढी बलले तानिने भएकाले a = mg/m = g हुन्छ। यसरी पिण्ड कटिन्छ र हरेक वस्तु उही प्रवेगले खस्छ।

$$F = \frac{G m_1 m_2}{d^2} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 20 \times 40}{5^2} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 800}{25} = 2.134 \times 10^{-9}\ \text{N}$$
F = 2.13 × 10⁻⁹ N

d केन्द्रहरूबिचको दुरी हो: 5 m को खाली ठाउँमा दुवै गोलाको अर्धव्यास जोड्नुहोस्।

दिइएको: m₁ = 5 kg, अर्धव्यास 10 cm = 0.10 m; m₂ = 2.5 kg, अर्धव्यास 5 cm = 0.05 m; सतहहरूबिचको खाली ठाउँ 5 m।
केन्द्रबिचको दुरी: d = 0.10 + 5 + 0.05 = 5.15 m।
$$F = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 5 \times 2.5}{5.15^2} = \frac{83.38 \times 10^{-11}}{26.52} = 3.14 \times 10^{-11}\ \text{N}$$
F = 3.14 × 10⁻¹¹ N। (गल्तीले 5 m नै प्रयोग गर्दा 3.34 × 10⁻¹¹ N आउँछ।)

d = 7.8 × 10⁸ km = 7.8 × 10¹¹ m।
$$F = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 2 \times 10^{30} \times 1.9 \times 10^{27}}{(7.8 \times 10^{11})^2} = \frac{25.35 \times 10^{46}}{60.84 \times 10^{22}} = 4.17 \times 10^{23}\ \text{N}$$
F = 4.17 × 10²³ N।

d = 3.84 × 10⁸ m। $F = \dfrac{G m_1 m_2}{d^2}$ बाट:
$$m_2 = \frac{F d^2}{G m_1} = \frac{1.98 \times 10^{20} \times (3.84 \times 10^{8})^2}{6.67 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24}} = \frac{1.98 \times 14.75 \times 10^{36}}{39.83 \times 10^{13}} = 7.33 \times 10^{22}\ \text{kg}$$
m₂ = 7.33 × 10²² kg। यो चन्द्रमाको पिण्ड (7.34 × 10²² kg) नै हो; सानो फरक मानलाई छोट्याउँदा आएको हो।

$$d^2 = \frac{G m_1 m_2}{F} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24} \times 2 \times 10^{30}}{3.54 \times 10^{22}} = \frac{79.67 \times 10^{43}}{3.54 \times 10^{22}} = 2.25 \times 10^{22}$$
$$d = \sqrt{2.25 \times 10^{22}} = 1.5 \times 10^{11}\ \text{m}$$
d = 1.5 × 10¹¹ m (15 करोड km: प्रकाशले करिब 8⅓ मिनेटमा पार गर्ने दुरी)।

(पानी पृथ्वीमा भएकाले केन्द्रदेखि केन्द्रसम्मको दुरी लिइन्छ।)
m₁ = 7.342 × 10²² kg, m₂ = 1 kg, d = 3,84,400 km = 3.844 × 10⁸ m।
$$F = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.342 \times 10^{22} \times 1}{(3.844 \times 10^{8})^2} = \frac{48.97 \times 10^{11}}{14.78 \times 10^{16}} = 3.314 \times 10^{-5}\ \text{N}$$
हरेक किलोग्राममा F = 3.31 × 10⁻⁵ N। यो बल पृथ्वीको तानभन्दा करिब 3,00,000 गुणा कमजोर छ। तैपनि पूरै समुद्रमा लाग्दा यही बलले ज्वारभाटा ल्याउँछ।

R = 1.737 × 10⁶ m।
$$g = \frac{GM}{R^2} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.342 \times 10^{22}}{(1.737 \times 10^{6})^2} = \frac{48.97 \times 10^{11}}{3.017 \times 10^{12}} = 1.62\ \text{m/s}^2$$
g = 1.62 m/s²।

पिण्ड उही रहन्छ; अर्धव्यास 6371 km बाट 3474 ÷ 2 = 1737 km हुन्छ।
g ∝ 1/R² भएकाले,
$$\frac{g_\text{new}}{g} = \left(\frac{6371}{1737}\right)^2 = 3.668^2 = 13.45$$
g करिब 13.45 गुणा हुन्छ: करिब 132 m/s²।

R = 3.389 × 10⁶ m।
$$g = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.4 \times 10^{23}}{(3.389 \times 10^{6})^2} = \frac{42.69 \times 10^{12}}{11.49 \times 10^{12}} = 3.72\ \text{m/s}^2$$
W = mg = 200 × 3.72 = 743 N।

$$g_J = \frac{G (319 M)}{(11R)^2} = \frac{319}{121} \times \frac{GM}{R^2} = \frac{319}{121} \times 9.8 = 25.84\ \text{m/s}^2$$
W = mg = 100 × 25.84 = 2584 N।

d = R + h = 6371 km + 20 200 km = 26 571 km = 2.6571 × 10⁷ m।
$$g_1 = \frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24}}{(2.6571 \times 10^{7})^2} = \frac{39.83 \times 10^{13}}{7.060 \times 10^{14}} = 0.564\ \text{m/s}^2$$
g₁ = 0.56 m/s²। फोनको नक्सामा हाम्रो स्थान पत्ता लगाउन यिनै भूउपग्रह प्रयोग हुन्छन्। यी भूउपग्रह भएको ठाउँमा g जमिनको सत्र भागको एक भाग मात्र हुन्छ।

d = 6 371 000 + 8848.86 = 6 379 848.86 m = 6.3798 × 10⁶ m।
$$g_1 = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24}}{(6.3798 \times 10^{6})^2} = \frac{39.83 \times 10^{13}}{40.70 \times 10^{12}} = 9.786\ \text{m/s}^2$$
W = mg₁ = 10 × 9.786 = 97.86 N। समुद्र सतहमा यही वस्तुको तौल 98.14 N हुन्थ्यो।

भारत्तोलकले दुवै ठाउँमा उही बल लगाउन सक्ने भएकाले उचाल्न सक्ने तौल पनि उही हुन्छ:
$$m \times 3.75 = 100 \times 9.8 \;\Rightarrow\; m = \frac{980}{3.75} = 261.33\ \text{kg}$$
m = 261.33 kg

u = 0, t = 2.5 s।
$$h = ut + \tfrac{1}{2}gt^2 = 0 + \tfrac{1}{2} \times 9.8 \times 2.5^2 = 4.9 \times 6.25 = 30.63\ \text{m}$$
h = 30.6 m (आवाज माथि आउन लाग्ने थोरै समय छाडेर)।

u = 0, h = 15 m, g = 9.8 m/s²।
समय: $h = \tfrac{1}{2}gt^2 \Rightarrow t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} = \sqrt{\dfrac{30}{9.8}} = \sqrt{3.061} = 1.75\ \text{s}$
गति: $v = u + gt = 0 + 9.8 \times 1.75 = 17.15\ \text{m/s}$ (वा $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{294} = 17.15$ m/s)।
t = 1.75 s, v = 17.15 m/s

u = 15 m/s; सबैभन्दा माथि v = 0; माथि जाँदा g = −9.8 m/s²।
$$v^2 = u^2 + 2gh \;\Rightarrow\; 0 = 15^2 + 2 \times (-9.8) \times h \;\Rightarrow\; h = \frac{225}{19.6} = 11.48\ \text{m}$$
h = 11.48 m।