परीक्षा अभ्यास

यी सवारी साधनको पिण्ड फरक फरक भएकाले तिनको इनर्सिया पनि फरक हुन्छ। बढी पिण्ड भएको सवारीमा बढी चाल इनर्सिया हुन्छ र उही ब्रेकको बलले यसमा कम गतिह्रास उत्पन्न गर्छ (a = F/m)। त्यसैले यसलाई रोकिन बढी समय लाग्छ। अत्यन्त ठुलो पिण्ड भएको रेललाई रोकिन सबैभन्दा लामो समय लाग्छ भने मोटरसाइकललाई सबैभन्दा छोटो समय लाग्छ।

स्थिर इनर्सियाका कारण यसो हुन्छ। हल्लाउँदा हाँगा एक्कासि चल्छन्, तर पात र फल स्थिर अवस्थामै रहन खोज्छन्। यसरी डाँठमा जोडले तानिएर ती चुँडिन्छन् र पात तथा फल खस्छन्।

यात्राका क्रममा बस पटक पटक एक्कासि ढिलो हुन्छ वा रोकिन्छ। चाल इनर्सियाका कारण यसो हुन्छ। झोला पनि बससँगै अगाडि चलिरहेको हुन्छ। बस एक्कासि ढिलो हुँदा भुइँको सानो घर्षणले झोलालाई त्यत्तिकै छिटो रोक्न सक्दैन। त्यसैले झोला अगाडि नै चलिरहन्छ र भुइँमा चिप्लिँदै जान्छ।

न्युटनको तेस्रो नियमअनुसार बन्दुकले गोलीलाई अगाडि धकेल्दा (क्रिया) गोलीले पनि बन्दुकलाई बराबर बलले पछाडि धकेल्छ (प्रतिक्रिया)। यसैले बन्दुकले पछाडि झट्का दिन्छ। खुकुलो समातेमा बन्दुक जोडले पछाडि हुत्तिएर हान्नेलाई चोट लाग्न सक्छ। काँधमा कसेर अड्याउँदा यो झट्का शरीरको धेरै ठुलो पिण्डसँग बाँडिने भएकाले बन्दुक अलिकति मात्र पछाडि सर्छ (a = F/m)।

यी दुई बलको इलास्टिसिटी फरक फरक हुन्छ (फरक रबर वा भित्रको हावाको फरक चाप)। भुइँमा ठोक्किँदा हरेक बल थिचिन्छ र फेरि पहिलेकै आकारमा फर्कन्छ। बढी इलास्टिक बलले आफ्नो आकारमा फर्कँदा खसाइको बढी ऊर्जा फिर्ता दिन्छ र तापका रूपमा कम ऊर्जा खेर फाल्छ। त्यसैले यो बढी उफ्रन्छ।

रबर ब्यान्डलाई आफ्नो इलास्टिक सीमाभित्र तन्काउँदासम्म मात्र यो आफ्नो आकारमा फर्कन्छ। सीमाभन्दा बढी तन्काएमा यो स्थायी रूपमा डिफर्म हुन्छ (लामो र खुकुलो भइरहन्छ) र अझ बढी तन्काएमा चुँडिन्छ।

वस्तुको जम्मा स्थानान्तरणलाई लागेको जम्मा समयले भाग गर्दा आउने राशिलाई औसत गति भनिन्छ: औसत गति = जम्मा स्थानान्तरण ÷ जम्मा समय। यसको दिशा स्थानान्तरणकै दिशा हुन्छ। समान प्रवेगमा औसत गति $\tfrac{u+v}{2}$ सँग पनि बराबर हुन्छ।
प्रतिएकाइ समयमा हुने गति परिवर्तनलाई, अर्थात् गति परिवर्तनको दरलाई प्रवेग भनिन्छ: $a = \dfrac{v-u}{t}$। यसको SI एकाइ m/s² हो।

मानौँ, सिधा रेखामा समान प्रवेग a ले चलिरहेको वस्तुको गति t समयमा u बाट v हुन्छ र यसको स्थानान्तरण s हुन्छ।

• क.प्रवेगको परिभाषाअनुसार $a = \dfrac{v-u}{t}$ हुन्छ। तसर्थ $at = v - u$ र $v = u + at$।
• ख.समान प्रवेगमा औसत गति = $\dfrac{u+v}{2}$ हुने भएकाले $s = \left(\dfrac{u+v}{2}\right) t$ हुन्छ। समीकरण (क) बाट $t = \dfrac{v-u}{a}$ हुन्छ। यो मान राख्दा,

$s = \dfrac{(v+u)}{2} \times \dfrac{(v-u)}{a} = \dfrac{v^2-u^2}{2a}$, तसर्थ $2as = v^2 - u^2$ र $v^2 = u^2 + 2as$।
ग. $s = \left(\dfrac{u+v}{2}\right) t$ मा $v = u + at$ राख्दा,

$s = \left(\dfrac{u + u + at}{2}\right) t = \left(u + \tfrac{1}{2}at\right) t$, तसर्थ $s = ut + \tfrac{1}{2}at^2$।

स्थानान्तरण–समय ग्राफ: माथितिर झुकेको सिधा रेखा (वस्तु सन्दर्भ बिन्दुबाट चल्न थालेको भए रेखा उद्गम बिन्दुबाट सुरु हुन्छ)। यसको झुकावले समान गति दिन्छ।

गति–समय ग्राफ: गतिकै उचाइमा समय अक्षसँग समानान्तर तेर्सो सिधा रेखा। यसको झुकाव शून्य हुने भएकाले प्रवेग हुँदैन।

यी चित्र 7.8 को दोस्रो र चित्र 7.10 को पहिलो चित्र हुन्।

0–4 s: माथि जाने सिधा रेखा; वस्तु अगाडितिर समान गतिले चलेको छ। 4–6 s: x-अक्षसँग समानान्तर रेखा; वस्तु 8 m मा स्थिर छ। 6–8 s: माथि जाने सिधा रेखा; वस्तु फेरि अगाडितिर समान गतिले चलेको छ (2 s मा 4 m = 2 m/s)। 8–14 s: तल झर्ने सिधा रेखा; वस्तु समान गतिले सुरुको ठाउँमा फर्केको छ (6 s मा −12 m = −2 m/s)।
पहिलो 4 s को औसत गति = झुकाव = $\dfrac{8 - 0}{4 - 0}$ = 2 m/s अगाडितिर

खरायो (A देखि C) निकै छिटो दौडिन्छ र 3 मिनेटमै 100 m को ट्र्याकमा 60 m पुगेर कछुवाभन्दा धेरै अगाडि हुन्छ। जित्ने पक्का ठानेर यो सुत्छ। C देखि D सम्म यसको रेखा समतल भएकाले यो 7 मिनेट स्थिर रहन्छ। यसैबिच कछुवाको सिधा रेखा एकनासले माथि चढ्छ, अर्थात् कछुवा सधैँभरि उही ढिलो, समान वेगमा हिँडिरहन्छ। करिब 7 मिनेटमा कछुवाको रेखाले खरायोको रेखा काट्छ, अर्थात् यहीँ कछुवाले सुतिरहेको खरायोलाई उछिन्छ। D (10 मिनेट) मा खरायो ब्युँझेर झन् झन् छिटो दौडिन्छ (D देखि E हुँदै F सम्म, झन् झन् ठाडो हुँदै जाने वक्र)। तर 12 मिनेटमा कछुवा अन्तिम बिन्दु B मा पुगिसक्छ भने F मा रहेको खरायो अझै केही मिटर पछाडि हुन्छ। ढिलो भए पनि निरन्तर चल्नेले दौड जित्छ।

वस्तुले आफ्नो स्थिर अवस्था वा सिधा रेखाको समान चाल आफैँ बदल्न नसक्ने गुणलाई इनर्सिया भनिन्छ।

स्थिर इनर्सिया: (1) बस एक्कासि चल्दा यात्रु पछाडितिर हुत्तिन्छन्। (2) कार्पेटलाई लट्ठीले हिर्काउँदा धुलो झर्छ।

चाल इनर्सिया: (1) गुडिरहेको बसमा एक्कासि ब्रेक लगाउँदा यात्रु अगाडितिर हुत्तिन्छन्। (2) लङ्ग जम्पका खेलाडी टाढासम्म उफ्रन हाम फाल्नुअघि केही दुरी दौडिन्छन्।

वस्तुको इनर्सिया यसको पिण्डमा निर्भर हुन्छ। वस्तुको पिण्ड बढ्दा इनर्सिया पनि बढ्छ र पिण्ड घट्दा इनर्सिया पनि घट्छ। पिण्ड नै इनर्सियाको नाप हो। जस्तै: खाली ट्रकलाई भन्दा माल भरिएको ट्रकलाई चलाउन वा रोक्न धेरै गाह्रो हुन्छ।

कुनै बाह्य असन्तुलित बलको प्रयोग नहुन्जेलसम्म स्थिर अवस्थामा रहेको वस्तु स्थिर अवस्थामै रहन्छ र चाल अवस्थामा रहेको वस्तु सिधा रेखामा समान गतिले चलिरहन्छ।

• 1.फुटबल खेलाडीले स्थिर अवस्थामा रहेको फुटबललाई हान्दा खुट्टाको बलले गर्दा फुटबल चल्न थाल्छ।
• 2.साइकलको ब्रेक र सडकको घर्षणले गुडिरहेको साइकललाई रोक्छ।
• 3.ब्याट्सम्यानले हिर्काउँदा क्रिकेट बलको दिशा बदलिन्छ।

न्युटनको पहिलो नियमअनुसार चलिरहेको बस सिधा रेखामा गइरहन खोज्छ। घुम्तीमा मोडिन बसलाई छेउतिरको असन्तुलित बल चाहिन्छ र यो बल सडकले टायरमा लगाउने घर्षणबाट आउँछ। बस जति छिटो गुड्छ, यो बल पनि उति ठुलो चाहिन्छ (घुम्ती साँघुरो भए अझ ठुलो)। पहाडको साँघुरो घुम्तीमा तीव्र वेगमा गुड्दा चाहिने बल घर्षणले दिन सक्नेभन्दा बढी हुन सक्छ, खास गरी भिजेको, गिट्टी छरिएको वा हिलो सडकमा। यस्तोमा बस लगभग सिधै गएर सडकबाहिर निस्कन्छ। ठुलो पिण्ड (इनर्सिया) भएकाले बसको वेग घटाउन पनि लामो दुरी चाहिन्छ र यात्रु छेउतिर हुत्तिन्छन्। तसर्थ घुमाउरो बाटामा बस बिस्तारै चलाउनुपर्छ।

दोस्रो नियम: बलको प्रयोगबाट कुनै वस्तुमा उत्पन्न हुने प्रवेग त्यसमा लागेको बलसँग समानुपातिक र त्यसको पिण्डसँग व्युत्क्रमानुपातिक हुन्छ।

प्रमाण: $a \propto F$ (पिण्ड स्थिर हुँदा) र $a \propto \dfrac{1}{m}$ (बल स्थिर हुँदा)। यी दुईलाई संयोजन गर्दा $a \propto \dfrac{F}{m}$ हुन्छ। तसर्थ $F \propto ma$ र $F = k\,ma$, जहाँ k अचर राशि हो।

1 kg पिण्ड भएको वस्तुमा 1 m/s² को प्रवेग उत्पन्न गराउने बललाई एक न्युटन भनिन्छ। F = 1 N, m = 1 kg र a = 1 m/s² राख्दा 1 = k × 1 × 1 हुन्छ, अर्थात् k = 1। तसर्थ F = ma।

कुनै पनि क्रियाका लागि बराबर र विपरीत प्रतिक्रिया हुन्छ। वस्तु A ले वस्तु B मा बल लगाउँदा वस्तु B ले पनि वस्तु A मा मानमा बराबर र दिशामा विपरीत बल लगाउँछ। यी दुई बल फरक फरक वस्तुमा लाग्छन्।

पहिलो नियम: (1) बसमा एक्कासि ब्रेक लगाउँदा यात्रु अगाडितिर हुत्तिन्छन्। (2) कार्पेटलाई हिर्काएर सफा गरिन्छ।

दोस्रो नियम: (1) उही धक्का दिँदा माल भरिएको गाडाको भन्दा खाली गाडाको वेग सजिलै बढ्छ। (2) जोडले हानेको क्रिकेट बल छिटो जान्छ।

तेस्रो नियम: (1) हामी जमिनलाई पछाडि धकेलेर हिँड्छौँ र जमिनले हामीलाई अगाडि धकेल्छ। (2) गोली हान्दा बन्दुकले पछाडि झट्का दिन्छ।

• क.क्रिया: र्‍याकेटले बललाई अगाडि धकेल्छ। प्रतिक्रिया: बलले र्‍याकेटलाई पछाडि धकेल्छ (हातमा यो धक्का महसुस हुन्छ)।
• ख.क्रिया: मानिसका खुट्टाले डुङ्गालाई पछाडि धकेल्छ। प्रतिक्रिया: डुङ्गाले मानिसलाई किनारतिर अगाडि धकेल्छ। पानीमा डुङ्गा सजिलै चल्न सक्ने भएकाले यो किनारबाट टाढा पछाडितिर सर्छ। त्यसैले होसियार नभएमा मानिस पानीमा खस्न सक्छन्।

डिफर्मिङ बल हटाउँदा वस्तुले आफ्नो मूल आकार र साइज फेरि प्राप्त गर्ने पदार्थको गुणलाई इलास्टिसिटी भनिन्छ। उदाहरण: रबर ब्यान्ड, स्टिलको स्प्रिङ, र्‍याकेटका तार, फुटबल।
डिफर्मिङ बल हटाएपछि पनि वस्तुले डिफर्म भएकै आकार कायम राख्ने पदार्थको गुणलाई प्लास्टिसिटी भनिन्छ। उदाहरण: माटो, भिजेको माटो (इँटा), मुछेको पिठो, टुथपेस्टको ट्युब।

u = 0, a = 1.5 m/s², t = 30 s
$s = ut + \tfrac{1}{2}at^2 = 0 + \tfrac{1}{2} \times 1.5 \times 30^2 = 0.75 \times 900$ = 675 m दक्षिणतिर
$v = u + at = 0 + 1.5 \times 30$ = 45 m/s दक्षिणतिर

ढुङ्गा खसालिएकाले u = 0; t = 2 s; g = 9.8 m/s²
$h = ut + \tfrac{1}{2}gt^2 = 0 + \tfrac{1}{2} \times 9.8 \times 2^2$ = 19.6 m

चलिरहेको जम्मा पिण्ड m = 50 + 12 = 62 kg
F = ma = 62 × 2 = 124 N (ओरालोतिर)

u = 72 km/h = 72 × 1000 ÷ 3600 = 20 m/s; v = 10 km/h = 10 × 1000 ÷ 3600 = 2.78 m/s; s = 50 m
$v^2 = u^2 + 2as \Rightarrow 2.78^2 = 20^2 + 2 \times a \times 50 \Rightarrow 7.72 = 400 + 100a \Rightarrow a = -3.92\ \text{m/s}^2$
F = ma = 1500 × (−3.92) = −5880 N। यो चालको विपरीत दिशामा लाग्ने करिब 5900 N को ब्रेक बल हो।
(गतिह्रासलाई 3.9 m/s² मा राउन्ड गरेमा 1500 × 3.9 = 5850 N आउँछ। हिसाब देखाएमा दुवै उत्तर सही हुन्छन्।)

(iv) का लागि C र D बिचको गति–समय रेखामुनिको क्षेत्रफलले स्थानान्तरण दिन्छ।

• i.समान गति: BC र DE (समतल)। समान प्रवेग: AB, CD र EF (माथितिर झुकेका सिधा रेखा)। गतिह्रास: FG; यसको रेखा वक्र भएकाले यो असमान गतिह्रास हो (गति झन् झन् छिटो घट्छ)। प्रवेग असमान भएको खण्ड यही वक्र खण्ड FG मात्र हो।
• ii.AB (4 s मा 10 m/s = 2.5 m/s²), CD (4 s मा 15 m/s = 3.75 m/s²) र EF (4 s मा 5 m/s = 1.25 m/s²) मध्ये सबैभन्दा ठाडो CD हो।
• iii.$a = \dfrac{v-u}{t} = \dfrac{25-10}{10-6} = \dfrac{15}{4}$ = 3.75 m/s²
• iv.CD मुनिको क्षेत्रफल 10 m/s र 25 m/s समानान्तर भुजा भएको र 4 s चौडा समलम्ब चतुर्भुज हो:

स्थानान्तरण = $\dfrac{10 + 25}{2} \times 4$ = 70 m। (जाँच: $s = ut + \tfrac{1}{2}at^2 = 10 \times 4 + \tfrac{1}{2} \times 3.75 \times 16 = 40 + 30 = 70$ m।)